Triangulating the Real Projective Plane

We consider the problem of computing a triangulation of the real projective plane P , given a finite point set P = {p1, p2, . . . , pn} as input. We prove that a triangulation of P always exists if at least six points in P are in general position, i.e., no three of them are collinear. We also design an algorithm for triangulating P if this necessary condition holds. As far as we know, this is the first computational result on the real projective plane. Key-words: Computational geometry, triangulation, simplicial complex, projective geometry, algorithm ∗ Department of Computer Science and Engineering, IIT Kharagpur, 721302, India [Email: [email protected]] This problem was conceptualized and solved while the first author was invited under the INRIA Internship Program for a summer visit. † INRIA Sophia Antipolis, BP 93, 06902 Sophia Antipolis cedex (France) [Email: [email protected] http://www-sop.inria.fr/geometrica/team/Monique.Teillaud/] Trianguler le plan projectif réel Résumé : Nous considérons le calcul de la triangulation d’un ensemble fini de points P = {p1, p2, . . . , pn} dans le plan projectif. Nous démontrons que la triangulation existe toujours dès lors qu’au moins six points de P sont en position générale, c’est-à-dire que trois d’entre eux ne sont jamais alignés. Nous proposons également un algorithme pour trianguler P si cette condition nécessaire est remplie. À notre connaissance, c’est le premier résultat algorithmique connu pour le plan projectif réel. Mots-clés : Géométrie algorithmique, triangulation, complexe simplicial, géométrie projective, algorithme Triangulating the Real Projective Plane 3